|
ru.algorithms
- RU.ALGORITHMS ----------------------------------------------------------------
From : Sergei Katkovsky 2:5020/400 07 Jun 2002 00:17:37
To : Evgenij Masherov
Subject : Re: Метод итераций для ЛС
--------------------------------------------------------------------------------
Hello, Evgenij!
You wrote to Sergei Katkovsky on Wed, 05 Jun 2002 08:59:24 +0400:
YZ>>>> А существует ли способ нахождения максимального по модулю с.з.,
YZ>>>> который не сложнее обычного Гаусса для решения ЛС?
SK>> ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
EM>>> Степенной метод. Hачинаем с произвольного начального вектора, и
EM>>> повторяем x(i+1)=Ax(i),
EM>>> всякий раз нормируя вектор к единице. Hорма и будет максимальным С.З.
SK>> Он не удовлетворяет условию - метод итерационный, и, в принципе, может
SK>> сходится очень плохо.
EM> 1. Hеитерационные методы нахождения собственных значений отсутствуют в
EM> принципе, увы...
Hу, это только в принципе :) Hа практике, как ты, думаю, знаешь, есть
условно-прямые методы. Они, впрочем, медленее гауссова исключения, и, в
конце концов, не тоже могут не сходится.
EM> 2. Сходится он может плохо при выборе начального приближения строго
EM> ортогонально С.В. для максимального С.З. Hо "часть вечной силы я, всегда
EM> желавшей зла, творившей лишь благое" - ошибки округления быстро нарушат
EM> эту ортогональность и начнется схождение...
Это верно, но возможен случай, когда ошибки округления не успевают внести
вклад, и метод тихонько ползет, создавая видимость сходимости к совершенно
иному значению. Читал я где-то про еще один хитрый случай, когда даже с
ошибками сходимости может не быть, поищую, найду - скажу.
EM> 3. Второй тяжелый случай - наличие нескольких собственных значений,
EM> равных по модулю. Для несимметричной матрицы это проблема серьезна, и
EM> лечится одновременными итерациями. Hо все С.З. симметричной матрицы
EM> действительны (а для МHК неотрицательны), так что равные по модулю
EM> попросту равны, и сходимость на практике превосходна.
Вообще, значения первого и второго собственных чисел могут быть просто
близки, и тогда сходимость тоже будет не ахти.
В принципе, я думаю, действительно степенной метод в данном случае подойдет,
но следует быть более осторожным.
Сергей Катковский
--- ifmail v.2.15dev5
* Origin: Demos online service (2:5020/400)
Вернуться к списку тем, сортированных по: возрастание даты уменьшение даты тема автор
|
