|
ru.algorithms
- RU.ALGORITHMS ----------------------------------------------------------------
From : Sergiy Kanilo 2:5020/400 09 Jun 2003 04:28:04
To : Valentin Davydov
Subject : Re: Численные методы задача Диpихле
--------------------------------------------------------------------------------
"Valentin Davydov" <val@sqdp.trc-net.co.jp> wrote in message
news:bc095q$2do5$1@news.pu.ru...
> >Задаем в граничных узлаах, где температура известна - значения
> >температуры, задаем в остальных узлах - начальное приближение
> >(например, линейное распределение)
> >теперь для каждой внутренней точки объекта вычисляем производную
> >по времени от температуры по формуле U,t =(U,xx+U,yy)/a_mater
> >и вычисляем прирашение температуры за время dU =U,t*dt
> >для равномерной сетки с шагом dh=dx=dy это сводится к формуле
> >dU_ij =dt*(4*U_ij-U_i-1j-U_i+1j-U_ij-1-U_ij+1)/dh^2
> >(dt выбирается эмпирически, можно конечно сделать оценку,
> >но я не помню как)
извиняюсь, но в уравнении пропущен минус, следует читать
dU_ij = -dt*(4*U_ij-U_i-1j-U_i+1j-U_ij-1-U_ij+1)/dh^2
> dt выбирается исходя из того, чтобы приращение температуры за это
> время в узле было порядка разницы температур между соседними узлами.
> Если выбрать dt слишком малым, замедлится сходимость, а если слишком
> большим - появится неустойчивость.
приведенного выше разностного уравнения вполне
достаточно для того чтобы дать оценку для шага
по времени для однородной среды
dt = 0.25*dh^2
> >для граничных узлов с заданой температурой - ничего не делаем,
> >для узлов на границе с теплообменом уравнение вырождается -
> >одна компонента простсранстренной производной равна нулю,
> >но возможно добавляется член обмена (что-то вроде b*(U0-U_ij))
> >
> >после вычисления всех производных делаем приращения для
> >всех узлов и переходим к новой итерации
> >и так до достижения сходимости.
> >
> >Это не самый быстрый счетный вариант, но ИМХО самый легкий
> >в реализации.
>
> Кроме быстроты (в смысле медленного роста вычислительной сложности по
> мере увеличения густоты сетки) и лёгкости, этот вариант обладает ещё
> свойством точности (погрешность поддаётся лёгкой и надёжной оценке).
если мы говорим об итерационном решении, то осмею не
согласиться, ибо скорость будет весьма медленной,
в расчет надо принимать не только сложность одной итерации,
но и их количество, а здесь идет волновое распределение
температуры - на одну ячейку за итерацию, зависимость
шага по времени от шага сетки (см. выше) понижает скорость
сходимости. При NxN сетке имеем NxN операций на итерации
и количество итераций пропорционально NxN, то есть суммарная
сложность не менее N^4.
При прямом методе решения (в противовес итерационному)
сложность те же N^4 - NxN уравнений и ширина ленты
матрицы - N (коэффициент при N^4 ИМХО будет меньше у
прямого метода)
Прямое решение дает оптимальное решение для выбранной
апроксимации, - предел для данного итерационного решения
Cheers,
Serge
--- ifmail v.2.15dev5
* Origin: Demos online service (2:5020/400)
Вернуться к списку тем, сортированных по: возрастание даты уменьшение даты тема автор
|
