|
ru.algorithms
- RU.ALGORITHMS ----------------------------------------------------------------
From : Evgenij Masherov 2:5020/175.2 17 Mar 2002 04:27:03
To : Mike
Subject : система уравнений
--------------------------------------------------------------------------------
Wed Mar 13 2002 12:48, Mike wrote to All:
M> Привет All!
M> Hарод, прошу прощения за глупый вопрос, но может кто-нибудь подскажет, как
M> мне решить систему уранений приблизительно такого вида :
M> p1 = a1*p1 + b1*p2 + c1*p3
M> p2 = a2*p1 + b2*p2 + c2*p3
M> p3 = a3*p1 + b3*p2 + c3*p3
M> p1 + p2 + p3 = 1 - это сумма вероятностей
M> a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3 - это известные коэффиценты
M> найти надо соответственно p1,p2,p3
M> Крамером реализовал, он посчитал, но вероятности получились отрицательные
M> и больше 1, хотя в сумме дали 1 ;)))
M> Может кто-нибудь подскажет или кинется в меня алгоритмом для решения этой
M> простой задачки, подстановкой в общем виде решил, но видно где-то допустил
M> ошибку (исписал 5 страниц А4) и считает неверно. Если честно Гаусса не
M> помню и уже сомневаюсь в его помощи, после решения Крамером...
M> Буду очень благодарен, если кто-нибудь выразит своё мнение на этот счёт.
Продолжаю...
Полагаю, что р - это вероятности?
А коэффициенты а, ь, с... - интенсивности перехода из состояния в состояние?
Тогда появляется в формуле вероятности знаменатель, и задача иммет вид
Ap=kp, где к - величина, обратная знаменателю.
Это задача на собственные значения. Вектор Р получается, как решение
однородного уравнения
(A-kI)p=0.
Поскольку оно имеет решение, только если определитель равен нулю - приходим к
решению полинома (характеристического). Корни его не обязательно
действительны...
Hо в нашем случае достаточно найти одно (наибольшее по модулю) собственное
значение. И если матрица А неотрицательна и неразложима (первое в смысле - её
элементы больше либо равны нулю; второе - ее нельзя разбить на блоки так, что
ненулевые элементы в непересекающихся блоках на диагонали, а меж ними нули)
то, по теореме Фробениуса-Перрона, у нее действительное и положительное
старшее собственное значение и ему соответствует действительный и
неотрицательный собственный вектор.
И решать задачу получается довольно просто - начинаем с произвольного вектора
р (например, принимая все элементы единицами), умножаем его на А, в полученном
векторе проводим нормировку к единичной сумме элементов, и далее повторяем до
сходимости. Она наступает достаточно быстро.
Евгений Машеров АКА СанитарЖеня
--- ifmail v.2.15
* Origin: FidoNet Online - http://www.fido-online.com (2:5020/175.2)
Вернуться к списку тем, сортированных по: возрастание даты уменьшение даты тема автор
|
система уравнений