|
ru.algorithms
- RU.ALGORITHMS ----------------------------------------------------------------
From : Evgenij Masherov 2:5020/175.2 17 Oct 2002 09:58:35
To : Nikita Golovachev
Subject : Максимальное и минимальное собственные значения матрицы
--------------------------------------------------------------------------------
Wed Oct 16 2002 19:35, Nikita Golovachev wrote to Evgenij Masherov:
NG>>> Помогите, пожалуйста, с определением сабжа. Буду очень благодарен.
EM>> Степенной метод не спасет?
NG>>> Можно, конечно, найти все собственные значения, но опять же как?
EM>> Якоби, например.
NG> А можно по-подробнее про эти методы?
Степенной метод весьма прост
x(n+1)=Ax(n)
Повторяя умножение произвольного начального вектора на матрицу (и не забывая
его нормировать - к единичной сумме квадратов его элементов; к единичной сумме
элементов, если есть основания полагать, что они все положительны; просто к
единичному выбранному элементу), получаем х стремящийся к собственному
вектору, соответствующему максимальному собственному значению. Далее
собственное значение находится просто по определению (ну, или как норму
последнего вектора...)
Для минимального С.З. - берется обратная матрица (что не требует
дополнительной информации, но трудоемко) или матрица (kI-A), где к - больше
максимального собственного значения, т.е. бывшее минимальное становится
максимальным С.З. (не забыть восстановить правильное значение с учетом к !)
Для этих методов есть контрпримеры несходимости, но они проявляются в
специально подобранных начальных векторах, так что ошибки вычисления нас из
такого тупика выведут...
Можно также повторить расчет несколько раз, меняя начальные приближения.
Метод Якоби состоит в том, что приводим матрицу к диагональному виду, сохраняя
С.З. путем умножения на матрицы вращений. Хорош, когда нужно найти все С.З. и
С.В., причем с высокими требованиями по ортогональности С.В. Если нужны одни
С.З. - лучше использовать QR-разложение.
Описание их и многих других есть в кн.: Парлетт. Симметрическая проблема
собственных значений.
NG>>> Исходники приветствуются.
EM>> А модератор не заругается?
NG> Заругается. Hо может хотя бы в мыло?.. Hу очень мне надо...
NG> А вообще-то текст программы - это четко записанный в соответствии с
NG> некоторыми правилами языка алгоритм :-)
Либо адрес не-ФИДОшный (ну, есть проблемы с отправкой почты...) - либо
дозволение от начальства на помещение сюда исходника Якоби (некоторым
оправданием тому - усовершенствования алгоритма Якоби, принадлежащие мне, и
позволившие по скорости не уступить QR при большей ортогональности...)
Евгений Машеров АКА СанитарЖеня
--- ifmail v.2.15dev5
* Origin: FidoNet Online - http://www.fido-online.com (2:5020/175.2)
Вернуться к списку тем, сортированных по: возрастание даты уменьшение даты тема автор
|
