ru.algorithms

 
 - RU.ALGORITHMS ----------------------------------------------------------------
 From : Evgenij Masherov                     2:5020/175.2   11 Dec 2001  10:35:26
 To : Konstantin Filinov
 Subject : Вейвлеты
 -------------------------------------------------------------------------------- 
 

 Mon Dec 10 2001 22:58, Konstantin Filinov wrote to Евгений Машеров:
  ЕМ>> В трех - кратно-масштабный анализ:)
  ЕМ>> Если чуть больше слов - используем базисные функции, которые после
  ЕМ>> растяжения в два раза (рассматриваются и иные растяжения) переходят в
  ЕМ>> себя. Основное уравнение: f(2x)=SUM a(i)*f(x-i) Эти функции локализованы
  ЕМ>> в  пространстве, в отличие от раскинутых от плюс до минус бесконечности
  ЕМ>> синусов/косинусов. Поэтому ими лучше приближаются функции, содержащие
  ЕМ>> быстрые изменения, скажем, изображения. Далее либо мылом, либо, если
  ЕМ>> народу интересно, можно начать обсуждение в эхе.
 
  KF>     Интересно, расскажи подробнее.:)
 
 Это фрагмент из написуемой статьи
 
 Подобно разложению в ряд Фурье, вейвлет-преобразование предполагает, что
 имеющийся в нашем распоряжении сигнал может быть представлен в виде суммы
 базисных функций. Hо если для Фурье этими функциями являются различающиеся по
 частоте, но неизменные во времени синусы и косинусы, то базисные функции
 вейвлет-преобразования (вернее сказать, преобразований, поскольку число только
 практически примененных вейвлетов превышает несколько десятков) различны не
 только по частоте (более строго здесь говорить о характеристике), но и
 сосредоточены в различных временных фрагментах исследуемого сигнала. Положим,
 к примеру, что рассматриваемый нами отрезок ЭЭГ содержит, кроме альфа-ритма,
 единичный пик-волновый комплекс. Попытка описать его разложением Фурье
 приведет к  предположению, что наш комплекс порожден суммой синусоид,
 одинаковых на всем отрезке, что совершенно неадекватно (хотя альфа-ритм Фурье
 описывает вполне удовлетворительно). В вейвлет-разложении же мы получим
 большие значения коэффициентов при базисной функции, сосредоточенной
 преимущественно на том отрезке, где проявился пик-волновый комплекс.
 
 Разумеется, выбор в качестве базиса набора совершенно различных функций, хотя
 и повышает гибкость анализа, но чрезвычайно его затрудняет. Удачный
 компромисс, на котором и построен вейвлет-анализ, состоит в том, что все
 базисные функции могут быть построены из одной посредством сдвигов и изменения
 масшаба. В простейшем (и наиболее важном практически!) случае, когда сдвиги мы
 выбираем равными целым числам, а масштаб меняем в два раза, можем записать
 соотношение
 f(x)= sqrt(2)SUM h(k)*f(2x-k)
 k пробегает значения от 0 до 2М-1. Решение этого функционального уравнения
 (вернее, системы, полученной из этого уравнения и дополнительных условий -
 связанных с требованиями к ортогональности, гладкости и т.п.) называется
 скейлинг-функцией (scaling) или масштабной функцией. Выразительное название
 'отцовский вейвлет' малоупотребительно.
   Из него можно построить базисный (или 'материнский') вейвлет, как
 p(x)= sqrt(2) SUM g(k)*p(2x-k)
 причем g(k)=(-1)^k*h(2M-k-1),  Интересно отметить, что, если рассматривать
 коэффициенты масштабной функции, как отклик цифрового фильтра, то коэффициенты
 базисного вейвлета определят фильтр с 'перевернутой' частотной характеристикой
 (т.е. если первый фильтр пропускает низкие частоты, то второй - настроен на
 пропускание высоких). Основное уравнение, определяющее вейвлет, задает
 чрезвычайно глубокое свойство - самоподобие. Детальное рассмотрение его может
 привести нас к понятию фрактала, но в эту область, бурно ныне развивающуюся,
 углубляться не будем, перенеся ее рассмотрение в другую главу.
 Рассмотрим подробнее эту формулу. Коэффициент, равный корню из двух, введен
 лишь для удобства выкладок, и можно рассмотреть представление ее, в котором он
 не вводится. При этом, разумеется, пропорционально меняются прочие
 коэффициенты.  Масштаб, равный двум, наиболее прост для понимания, и с его
 использованием получены наиболее ценные практически результаты, однако можно 
 рассмотреть и иные масштабы, в том числе - не обязательно целые. (Впрочем,
 польза от такого, равного двум, масштаба обнаружилась задолго до появления
 самого слова 'вейвлет' - именно удвоению частоты соответствует перенос ноты на
 октаву, так что нотная запись есть древнейшая форма вейвлет-преобразования).
 Ограничение сдвигов целыми числами естественно для задач обработки сигналов,
 которые представлены набором отсчетов, взятых через равные промежутки. В общем
 случае можно рассматривать и дробный сдвиг. Легко видеть, что основное
 соотношение задает масштабную и базисную функции с точностью до умножения на
 произвольное число, так что вводят условие нормировки. Как правило, требуют,
 чтобы интеграл от масштабной функции от минус до плюс бесконечности, был бы
 равен единице. 
 
 Евгений Машеров АКА СанитарЖеня
 
 --- ifmail v.2.15
  * Origin: FidoNet Online - http://www.fido-online.com (2:5020/175.2)
 
 

Вернуться к списку тем, сортированных по: возрастание даты  уменьшение даты  тема  автор 

Тема:    Автор:    Дата:    Вейвлеты   Roman Kirillov   09 Dec 2001 17:29:49   Вейвлеты   …ўЈҐ­Ё© Њ иҐа®ў   10 Dec 2001 20:52:00   Вейвлеты   Konstantin Filinov   10 Dec 2001 23:58:29   Вейвлеты   Evgenij Masherov   11 Dec 2001 10:35:26   Вейвлеты   Evgenij Masherov   11 Dec 2001 10:37:24   Вейвлеты   Evgenij Masherov   11 Dec 2001 10:39:32   Вейвлеты   Evgenij Masherov   11 Dec 2001 10:41:27   Вейвлеты   Roman Kirillov   14 Dec 2001 09:38:48   Вейвлеты   …ўЈҐ­Ё© Њ иҐа®ў   17 Dec 2001 20:37:10   Re: Вейвлеты   Alexander Lezin   10 Dec 2001 19:07:04   Вейвлеты   Ilia Kantor   12 Dec 2001 17:00:26