|
ru.algorithms
- RU.ALGORITHMS ----------------------------------------------------------------
From : Arthur Martirosyan 2:5061/103.51 01 May 2002 15:45:16
To : Mike Vorozhbensky
Subject : метод Hьютона
--------------------------------------------------------------------------------
Пятница Май 03 2002 00:21 You wrote:
MV> Кто нибудь может рассказать про решение систем линейных уравнений
MV> методом Hьютона(метод касательных) ?
Приближенное решение уравнений
--------------------------------
Рассмотрим уравнение
f(x)=0 ; (1)
Где функция f(x) определена и непрерывна на промежутке <a,b>.
Значение E <a,b>,удовлетворяющее уравнению (1),т.е. такое, что
f(E)=0 , называется корнем этого уравнения ( или нулем функции f(x)).
Геометрически корни уравнения (1)
представляют собой абсциссы точек
пересечения графика функции y=f(x)
с осью Ox (рис.1).
Для геометрического решения урав-
нения (1) иногда удобно заменить
его равносильным уравнением:
u(x)=v(x). (2)
Тогда корни уравнения (1) находятся как АБСЦИССЫ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕHИЯ
кривых y=u(x) и y=v(x).
Геометрически наглядной представляется теорема:
Если непрерывная функция f(x) на
концах отрезка [a*,b*] содержа-
щегося в промежутке <a,b>
принимает значения разных знаков,
т.е. f(a*)f(b*)<0 то внутри
отрезка [a*,b*] имеется по меньшей
мере один нуль функции f(x) (т.е.
обязательно существует корень
уравнения f(x)=0 ).
Этот корень будет единственным, если f'(x) сохраняет постоянный знак
на (a*,b*) (ввиду монотонности функции f(x)).
Предпологая, что уравнение f(x)=0, где f(x) непрерывна на <a,b>,
имеет единственный корень Е внутри отрезка [a*,b*] содержащегося
в промежутке <a,b>, причем выполнено условие f(a*)f(b*)<0 ,
Рассмотрим один из простых приемов для приближенного нахождения этого
корня.
Метод касательных (формула Hьютона)
-------------------------------------
Заменим теперь дугу AB кривой y=f(x) касатальной AC, проведенной в
точке A(a,f(a)) (рис.3). Т.к. угловой коэффициент касательной AC
равен f'(a), то ее уравнение имеет вид:
y-f(a)=f'(a)(x-a) (6)
Отсюда, полагая y=0 находим для корня Е его нриближенное значение
f(a)
E1=a- ------- (8)
f'(a)
(Формула Hьютона).
При выборе точки через которую
проводить касательную следует
придерживаться правила:
Если вторая производная функции f''(x) сохраняет постоянный
знак в интервале (a,b), то касательную следует проводить в
той кольцевой точке дуги AB, для которой знак функции
совпадает со знаком ее второй производной.
могу маленькую прогу закинуть, если нужно..
... OK!____________________________________________________________________
--- Желаю удачи и всего хорошего, Arthur M. -------------------------------
* Origin: Избави бог и нас от этаких судей. (2:5061/103.51
Вернуться к списку тем, сортированных по: возрастание даты уменьшение даты тема автор
|
