|
ru.algorithms
- RU.ALGORITHMS ----------------------------------------------------------------
From : Stanislav Shwartsman 2:400/520 10 Apr 2003 08:11:45
To : Comoderator Of Ru Algorithms
Subject : 3 faq
--------------------------------------------------------------------------------
10 Apr 03 08:01, you wrote to All:
CA> ДДДДДД Q36. Вычисления интегралов
CA> A: Sergey Novak (2:469/138.1)
CA> ДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДД
MB>> Посчитал интегральчики в пакете Maple V 5.0, но пришло время, что
MB>> нужно описать расчеты. Ту и возникла проблемка: по какому методу
MB>> или каким способом ентот самый MapleV 5.0 и рассчитывает их?
MB>> Метод симпсона и трапеций - в виде отдельных функций, а вот каким
MB>> макаром рассчитывается то, что описывается при помощи " int "?
MB>> Заранее благодарен за любой консультасьон!
CA> Когда то делал курсовик. Вот теория к нему:
У тебя почему то пропущено. Дополни.
ДНННННД Begin Windows Clipboard ДННННД
Приближенное вычисление определенных интегралов
Hе для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через
элементарные функции. В этих случаях вычисление определнных интегралов
по формуле Hьютона - Лейбница затруднительно, и применяются различные
методы приближенного вычисления определенных интегралов.
I. Формула прямоугольников.
Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Требуется
вычислить определнный интеграл
b
ф
іF(x)dx.
х
a
Разделим отрезок [a,b] точками a= X0, X1, X2,...,Xn на n - равных
частей длины .x : .x = (b-a)/n.
Обозначим далее через Y0, Y1, Y2, ... ,Yn, т.е. Y0=f(X0), Y1=f(X1),...
Yn=f(Xn).
Составим суммы Y0.x + Y1.x + Y2.x + ... + Yn-1.x, Y1.x + Y2.x + ...
... +Yn.x.
Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(X) на отрезке [a,b]
и поэтому приближенно выражается интеграл:
b
ф
іF(x)dx ч ((b-a)/n)*(Y0+Y1+Y2+...+Yn-1). (1)
х
a
Это и есть формулы прямоугольников. Ошибка вычислений тем меньше, чем
больше число n.
II. Формула трапеций.
Мы получим олее точное значение, если данную кривую Y=F(X) заменим не
ступенчатой линией, а вписаной ломаной. Тогда площадь криволинейной
трапеции aABb заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченых
сверху хордами AA1, A1A2,...,An-1B. Так как площадь первой из этих трапеций
равна ((Y0+Y2)/2).x, площадь второй равна ((Y1+Y2)/2).x и т.д., то
b
ф b-a Y0+Yn
іF(x)dx ч ДДДДД * ( ДДДДДДД + Y1 + Y2 + ... + Yn-1).
х n 2
a
Это и есть формула трапеций.
III. Фомула парабол (формула Симпсона).
Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n=2*m. Площадь
криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [X0, X1]
и [X1, X2] и ограниченной заданной кривой Y=F(X), заменим площадью
криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени,
проходящей через три точки M(X0, Y0), M1(X1, Y1), M2(X2, Y2) и имеющей
ось, параллельную оси Oy. Такую криволинейную трапецию будем называть
параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид
y = Axэ + Bx + C.
Коэффициенты A, B и C однозначно определяются из условия, что парабола
проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для
других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст
приближенное значение интеграла.
Л е м м а:
Если криволинейная трапеция ограничена параболой
Y = Axэ + Bx + C,
осью Ox и двумя ординатами, расстояние между которыми равно
2h, то ее площадь равна
h
S = Д (Y0 + 4*Y1 + Y2), (3)
3
где Y0 и Y2 - крайние ординаты, а Y1 - ордината кривой в середине отрезка.
Пользуясь формулой (3) мы можем написать следующие приближенные равенства
(h=.x):
X2
ф .x
іF(x)dx ч ДДДД *(Y0 + 4*Y1 + Y2),
х 3
a = X0
X4
ф .x
іF(x)dx ч ДДДД *(Y2 + 4*Y3 + Y4),
х 3
X2
. . . . . . . . . . . . . . . . .
X2m = b
ф .x
іF(x)dx ч ДДДД *(Y2m-2 + 4*Y2m-1 + Y2m).
х 3
X2m-2
Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа
его приближенное значение:
b
ф (b-a)
іF(x)dx ч ДДДДД * (Y0 + Y2m + 2*(Y2 + Y4 + ... + Y2m-2)
х 3
a + 4*(Y1 + Y3 + ... + Y2m-1)).
Это и есть формула Симпсона. Число 2m произвольно, но чем больше
это число, тем точнее сумма в правой части равенства дает значение
интеграла.
_/ДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДД/_
E-mail: gate@fidonet.org.il
Voice Phones: 972-4-8330554 (home), 972-5-4481073 (cell)
Bye !
Stanislav (AKA Night's Man) [Team Technion]
---
* Origin: Gate From Another World ... From Haifa, Israel (2:400/520)
Вернуться к списку тем, сортированных по: возрастание даты уменьшение даты тема автор
| Тема: |
Автор: |
Дата: |
|
faq |
Mike Galushkin |
06 Apr 2003 13:18:22 |
 faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 08:08:30 |
|
faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 07:57:54 |
|
faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 07:59:52 |
|
2 faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 07:59:52 |
|
faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 08:00:48 |
|
2 faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 08:00:48 |
|
faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 08:01:18 |
|
2 faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 08:01:18 |
|
faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 08:01:52 |
|
2 faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 08:01:52 |
 3 faq |
Comoderator Of Ru Algorithms |
10 Apr 2003 08:01:52 |
 3 faq |
Stanislav Shwartsman |
10 Apr 2003 08:11:45 |
|
3 faq |
Andrey Dashkovsky |
11 Apr 2003 23:00:43 |
|
3 faq |
Stanislav Shwartsman |
12 Apr 2003 10:39:21 |
 3 faq |
Andrey Dashkovsky |
13 Apr 2003 11:31:29 |
 3 faq |
Stanislav Shwartsman |
14 Apr 2003 08:20:45 |
 3 faq |
Andrey Dashkovsky |
14 Apr 2003 22:21:35 |
|
3 faq |
Ruslan Tebuev |
14 Apr 2003 11:51:21 |
|
3 faq |
Andrey Dashkovsky |
14 Apr 2003 22:38:11 |
|
3 faq |
Ruslan Tebuev |
15 Apr 2003 16:46:02 |
|
3 faq |
Moderator |
14 Apr 2003 23:26:48 |
|
3 faq |
Zahar Kiselev |
13 Apr 2003 19:07:12 |
|
3 faq |
Moderator |
14 Apr 2003 23:30:46 |
|
3 faq |
Stanislav Shwartsman |
15 Apr 2003 08:10:17 |
|
3 faq |
Andrey Dashkovsky |
14 Apr 2003 22:19:31 |
|
Re: 3 faq - аппроксимация |
Yuri Burger |
15 Apr 2003 14:49:50 |
|
|
